La deducción matemática de la presión y temperatura con relación a la teoría cinética.

El análisis de la materia en términos de átomos en continuo movimiento aleatorio se llama Teoría cinética.

A continuación demostraremos con términos matemáticos la relación entre presión y temperatura con respecto a la Teoría Cinética.



LEY DE BOYLER

Imagen 1-1

La presión ejercida sobre la pared de un contenedor de gas se debe al bombardeo constante de las moléculas. Si, el volumen se reduce, por ejemplo, a la mitad, las moléculas estarán más cerca unas de otras y más del doble golpeara un área dada de la pared por segundo. En consecuencia se espera que la presión sea el doble, en concordancia con la ley de Boyler.

Ahora se calculara cuantitativa mente la presión que un gas ejerce sobre su contenedor con base en la teoría cinética.


Imagine que las moléculas están dentro de un contenedor rectangular (en reposo) cuyos lados tienen área A y cuya longitud es L (1-1)





La presión ejercida por el gas sobre las paredes de su contenedor, de acuerdo al modelo, se debe a las colisiones de las moléculas con las paredes.


Ahora enfoque la atención en la pared, de área A en el lado izquierdo del contenedor y examine lo que ocurre cuan do una molécula golpea esta pared, (1-2)

Imagen 1-2

Esta molécula ejerce una fuerza sobre la pared y, de acuerdo con la tercera Ley de Newton, la pared ejerce una fuerza igual y opuesta devuelta sobre la molécula. La magnitud de esta fuerza sobre la molécula, deacuedo con la segunda ley de Newton, es igual a la tasa de cambio de la cantidad de movimiento de la molécula F=▲ (mv)/. (1-2)



Si se supone que la colisión es inelástica, solo cambia el componente X de la cantidad por movimiento de la molécula, y cambia de   (se mueve en la dirección X negativa) a .

 Por tanto, el cambio en la cantidad del movimiento de la molécula, ▲ (mv), que es la cantidad de movimiento final menos la cantidad de movimiento inicial, es:

Para colisión. Esta molécula realizara muchas colisiones con la pared, cada una separa por un tiempo , que es el tiempo que toma a la molécula viajar a través del contenedor y regresar de nuevo, una distancia (componente X)= a 2L. En consecuencia    o


                                         

El tiempo  entre colisiones es muy pequeño, de modo que el número de colisiones por un segundo es muy grande. De esta forma, la fuerza promedio (promedia sobre muchas colisiones)será igual el cambio de cantidad de movimiento durante una colisión dividida por el tiempo entre colisiones(segunda ley de newton):

Durante este pasaje de ida y vuelta a través del contenedor, la molécula puede colisionar con las tapas y con los lados del contenedor , pero esto altera su componente X de cantidad de movimiento y, en consecuencia, no altera el resultado .También puede chocar con otras moléculas, lo que puede cambiar su vx. Sin embargo, cualquier pérdida (o ganancia) de cantidad de movimiento se adquiere mediante otras moléculas y, como eventualmente se sumara a todas las moléculas, este efecto será incluido. De modo que el resultado anterior no se altera.


La fuerza actual debida a una molécula es intermitente, pero, puesto que un gran número de moléculas golpean la pared por segundo, la fuerza es, en promedio casi constante. Para calcular la fuerza debida a todas las moléculas en el contenedor, se tienen que sumar las aportaciones de cada una. En consecuencia la fuerza neta sobre la pared es

Donde  significa  para la molécula 1 (a cada molécula se le asigna arbitrariamente un numero) y la suma se extiende en el número total de las molécula en el con tenedor.


El vapor promedio del cuadrado del componente X de la velocidad es

Por tanto, la fuerza se puede escribir como

   Se sabe que el cuadrado de cualquier vector es igual a la suma de los cuadrados de sus componentes

(teorema de Pitágoras). En consecuencia,   para cualquier velocidad        

 

Al tomar los promedios se obtienen

                                                   

Como las velocidades de las moléculas en el gas se suponen aleatorias, no existe preferencia por una dirección u otra. Por tanto:

                                                             

Al combinar esta relación con la anterior, se obtiene:

Esto se sustituye en la ecuación para la fuerza neta F:

La presión sobre la pared es, entonces,

       


                     ó                        






Donde V = LA es el volumen del contenedor. Este es el resultado que se buscaba, la presión ejercida por un gas sobre su contenedor expresada en términos de propiedades moleculares.





La ecuación ,

se pude volver a escribir en una forma más clara multiplicando ambos lados por v y re ordenando el lado derecho:

La cantidad  

 es la energía cinética promedio (KE) de las moléculas en el gas. Si se compara la ecuación

   
  con la   ley del gas ideal PV=NkT, se ve que las dos concuerdan si



                               


                                  ó


 Esta ecuación dice que:

La energía cinética de traslación promedio de las moléculas en movimiento aleatorio en un gas ideal es directamente proporcional a la temperatura absoluta del gas.


Cuando más elevada sea la temperatura, de acuerdo con la teoría cinética, más rápido se mueven las moléculas en promedio. Esta relación es uno de los triunfos de la teoría cinética.

Douglas C. Giancoli.(2006).FÍSICA: Principios con aplicaciones

( 6ta edición).México. PEARSON EDUCACION. 

Pag.367-370