La deducción de las leyes de los gases a partir de la teoría


Todos los gases, idealmente, se comportan en forma similar ante los cambios de presión y temperatura. La cantidad de gas en determinado recipiente contribuye a determinar la presión en su interior y esa presión P, junto con la temperatura T y el volumen V del recipiente. Por lo tanto son aquellas que describen las relaciones entre las variables:

Presión, Volumen ,Temperatura y n(cantidad de materia o moles).

En las siguientes leyes enunciadas se mostraran las variables anteriormente mencionadas:

Ley de Boyle-Mariotte


En 1662, Robert Boyle, llevó a cabo un estudio de los gases, la cual dice:

Si se mantiene constante la temperatura, el volumen de un gas varía en proporción inversa a la presión absoluta, por lo tanto la presión absoluta por el volumen es constante.

Describe la relación entre las variables de P y V es decir:

Si la presión aumenta, el volumen disminuye. Si la presión disminuye, el volumen aumenta.


PV=K que es igual a P1V1=P2V2 donde:
P=presión
V=volumen
K=constante de proporcionalidad



Figura 1 La presión absoluta por el volumen es constante



Ejemplo:

La expansión de los globos meteorológicos, estos globos en la superficie de la tierra tienen un diámetro aproximadamente de 2m y al subir a presiones mas bajas , llegan a expandirse del tamaño de un casa.

Figura 2.Representación gráfica de la ley de boyle.


En la gráfica de P contra V da como resultado la hipérbola característica que corresponde a la ecuación de la ley. Si se repite el experimento a temperaturas diferentes se genera una familia de hipérbolas, y debido a que la temperatura es constante a lo largo de cada línea, éstas curvas se denominan isotermas. Como la energía interna de un gas sólo es función de la temperatura, en un proceso isotérmico de un gas la variación de la energía interna es cero. Figura 2





 Ley de Charles

En 1787 el francés J. Charles sin proponérselo fue el primero en subir en un globo cuando su ayudante lo soltó por accidente y fue el inventor del globo aerostático de hidrógeno.

Cuando se mantiene constante la presión, el volumen de determinada cantidad de cualquier gas varía en forma directa con la temperatura termodinámica.

Describe la relación entre las variables de VyT es decir:

Si aumenta la temperatura aplicada al gas, el volumen del gas aumenta.Si disminuye la temperatura aplicada al gas, el volumen del gas disminuye. Figura 3


V/T=K que es igual a V1/T1=V2/T2 donde:

V=volumen
T=temperatura absoluta
K=constante de proporcionalidad

Figura 3 Relación proporcional entre el volumen
y la temperatura absoluta de una masa



Ley de Gay-Lussac

En 1802 Gay-Lussac con sólo encerrar un gas en un matraz y obturando con un líquido el conducto por donde se ejerce la presión atmosférica y posteriormente calentando un poco el conjunto observó el aumento de volumen del gas, afirmando que:


Cuando se mantiene constante el volumen, la presión absoluta de determinada cantidad de cualquier gas varía en relación directa con la temperatura termodinámica.

Describe la relación entre las variables de PyT es decir:


Si aumentamos la temperatura, aumentará la presión.Si disminuimos la temperatura, disminuirá la presión.Figura 4.


P/T=K que es igual a P1/T1=P2/T2 donde:

P=presión
T=temperatura
K=constante de proporcionalidad

Figura 4 La presión es directamente proporcional a la
temperatura absoluta a volumen constante



Por ultimo,deducidas las leyes anteriores se puede concluir lo siguiente:

1.- Toda la materia está formada por partículas y en el caso de los gases, estás se encuentran en movimiento constante y en todas direcciones.

2.-En los gases, las partículas están alejadas entre si, y al estar en movimiento lo hacen a altas velocidades y sin rumbo fijo.

3.-La energía cinética media de las partículas es proporcional a la temperatura absoluta del gas.

4.-Los choques de las partículas son elásticos, es decir que al chocar las partículas contra otras o contra el recipiente que las contiene, estás rebotan sin perder su energía.

5.-El gas a bajas temperaturas se comprime y a grandes temperaturas se expande.

Ley General de los Gases 

El hecho de que haya grandes distancias entre las moléculas de los gases y que las fuerzas intermoleculares sean muy débiles, despreciables, hacen que las moléculas sean independientes unas de otras, por lo que las propiedades de los gases no dependen de la naturaleza de los mismos; es decir todos los gases se comportan del mismo modo. Por el contrario en un solido dependen de las fuerzas intermoleculares como también  de la forma y tamaño de as moléculas. 

Como se mostró anteriormente en las leyes (Gay-Lussac, Charles y Boyle- Mariotte) ahora mencionadas cualquier muestra de un gas puede describirse en función de 4 magnitudes:

• Masa
• Volumen
• Presión 
• Temperatura
  
  

Estas magnitudes al establecer relaciones entre ellas cuantitativas son válidas para todos los gases.

Todas las relaciones entre presión, volumen y temperatura de los gases pueden combinarse en una sola relación  llamada también ley combinada de los gases en donde se puede esperar que la temperatura y el volumen alcancen un equilibrio en donde el sistema  llegara a cambiar, es decir tengan valores parecidos y que las variables temperatura y presión sean las mismas durante el sistema que a su vez no cambien con el tiempo, cuya expresión matemática es la siguiente:

             P1V1=P2V2

               T1      T2

Esta ley permite solucionar problemas en donde se presentan cambios en las condiciones de las variables desde
a) Mantener la temperatura constante y cambiar la presión hasta que se alcance el V2.
b) Mantener el volumen constante y modificar la temperatura hasta que la presión sea P2.

 La ilustración hace alusión al proceso en el cual P,T y V varían, este proceso puede lograrse     pasando por un estado intermedio con las condiciones Pa, Ta y Va tales que    Ta =  T1 y Va= V2.

  En el primero de los pasos es aplicable la ley de Boyle, mientras que en el segundo puede  utilizarse la ley de Gay-Lussac.             

de esta forma obtendríamos:

            P1V1=PaVa         con          T1=Ta
        Pa/Ta=P2/T2        con       Va=V2 

al despejar Pa y sustituirla obtenemos:

             P1V1=P2Va
              Ta        T2
Que al aprovechar la igualdad del lado derecho se alcanza la ecuación que relaciona las variables de los estados iniciales y finales:

                    P1V1 = P2V2
                 TI        T2

Ley general de estado Gaseoso 

La masa de un gas al ser variable no puede utilizarse la ley general o combinada de los gases pues gracias a A. AVOGADRO quien encontró que, para diferentes gases a la misma presión y temperatura, el vólumen es proporcional al número de moles del gas encerrado en el recipiente  que con ayuda de ella puede plantearse la siguiente que indica  que cierto número de moles de gas ideal, a temperatura y presión fijas, ocupan un volumen determinado que puede calcularse en  la siguiente ecuación:
            Esta ecuación vincula los estados inicial y final de un proceso, pues está relacionado con las parámetros  (n, P, V y T)de cualquier gas. 
        
                     nRT         
        V=    P         
 n: Número de moles
R: constante de los gases 8.314 J/Kmol T: temperatura
V: volumen 

P: presión

                                          Se determina condiciones estandar o normales de
                                          temperatura y presión (EP) a P=1 atm y T= 273k 

Ecuación general de los gases ideales 

Al combinarse las leyes anteriormente vistas 

• Ley de Boyle
• Ley de Charles
• Ley de Gay- Lussac
• Ley de Avogrado
  
  Se obtiene la ecuación :           P.V = nRT

Para una cantidad determinada de gas esta ley puede expresarse también en función de las condiciones iniciales y finales:

si n=Cte:   PV/T= cte    P1V1/T1=P2V2/T2  ; m= cte  

La ecuación se cumple por los llamados  gases ideales que contiene el tamaño de sus partículas despreciables frente a la distancia que existe entre las moéculas en el cual no existen fuerzas intermoleculares. Esta ecuacion es aplicada a todos los gases cuando se encuentran a presiones muy bajas y temperaturas elevadas, cuando el comportamiento de las moléculas es de estar alejadas unas de otras que se desplazan a elocidades elevadas. Atemperaturas muy bajas las moléculas se mueven lentamente así la energia cinética de ellas es pequeña, fuerzas intermoleculares débiles hacen que las moléculas se mantengan unidas y el volumen del gas es mas bajo de lo esperado por la ecuación de los gases ideales.   

                                         En esta imagen se puede visualizar el comportamiento de
                                         un gas mediante un proceso.
imágenes obtenidas de
A. Garritz J.A Chamizo. (1994). Qímica. México: Addison Wesley Longman.
http://www.educ.ar/sitios/educar/recursos/ver?id=20104

Referencias:
A. Garritz J.A Chamizo. (1994). Qímica. México: Addison Wesley Longman.Eufrosina Alba Gutiérrez ,Olivia Rodríguez Z,. (2014). La química en tus manos. México: Publicaciones y fomento.
 

El siguiente video muestra como con la teoría cinético-molecular se pueden explicar las características de cada unos de  los 3 estados agregación, el movimieno de las moléculas que constituyen a la materia., que tan constante es el movimiento de las partículas quienes en el estado gaseoso pueden atravesarse unas a otras y son golpeadas por las moleculas de aire  demasiado pequeñas.

Los 3 estados se deben a movimientos moleculares distintos considerado así por la compisicón de ellos por pequeñas partículas.

 

El siguien video fué tomado de esta dirección:  https://www.youtube.com/watch?v=iJprpINbIVw

Movimiento Browniano

El movimiento Browniano se refiere al movimiento aleatorio de pequeñas partículas inmersas en un fluido. Robert Brown en 1827 investigo este fenómenos en forma sistemática, observando bajo un microscopio el movimiento de partículas de polen sobre la superficie de agua, las cuales describían movimientos aleatorios, tanto en amplitud como en dirección. Sus observaciones, y las de otros científicos, fueron objeto de intensas disputas, inicialmente se dio una explicación biológica a una explicación física. Realizando experimentos con partículas de materiales inorgánicos, fue el mismo Brown quien descarto que el movimiento se debía a que el polen estuviese "vivo". Por casi mas de 70 años existieron diferentes explicaciones de este fenómeno, entre ellas la idea de que el movimiento se debía a choques con los átomos. Es importante notar que a comienzos del siglo XX, la idea atómica de la naturaleza era aun muy controversial . Brown noto que se movían en trayectorias tortuosas, aun cuando el agua parecía estar en perfectamente en calma. La teoría atómica explica fácilmente el movimiento Browniano si se realiza la anterior suposición de que los átomos de cualquier sustancia están en movimiento continuo. Entonces los pequeños granos de polen, como los que Brown, son empujados de un lado a otro por las vigorosas andanadas de las moléculas de agua que se mueven rápidamente.

Este bombardeo a escala atómica no es siempre completamente uniforme y sufre variaciones completamente uniforme y sufre variaciones estadísticas importantes. Así la presión ejercida sobre los lados puede variar ligeramente con el tiempo, y así se genera el movimiento observado.

Aportación de Einstein

Basándose  en la forma natural atómica de los fluidos. Si los componentes básicos de un fluido, ya sean átomos o moléculas, se mueven en forma aleatoria como se supone en la teoría cinética, entonces una partícula inmersa en el fluido sufrirá colisiones con estos, en forma aleatoria tanto dirección como en intensidad. Es entonces el bombardeo aleatorio de los átomos sobre la partícula intrusa lo que causa el movimiento descrito inicialmente por Brown.

A partir de los antecedentes de Brown, no solo comenzaron a comprobar la existencia de moléculas, ademas la demostración de la densidad de sus presencia y como predecir su comportamiento. Einstein demostró la existencia de átomos y moléculas, obtuvo un valor bastante exacto del numero de Avogadro.

La trayectoria que sigue la partícula es en zigzag. Este movimiento se caracteriza por ser continuo y muy irregular.

El movimiento Browniano en la Naturaleza

Un ejemplo del movimiento Browniano, presente en la vida cotidiana, en este caso en la naturaleza. Se mostrara a continuación en el siguiente Articulo.

El polen es un polvo, que contiene microgametofitos de las plantas con semillas, llamadas espermatofitos, este tiene una cubierta resistente que facilita su viabilidad mientras  se transporta de una planta que lo ha originado a otra para que se produzca el proceso de la polinizacion.

El polen en suspencion con el agua, visto microscopicamente,¿ en el cual se observo que tenia un movimiento muy constante, pero este era sin tener ningún camino definido. Este movimiento Erratico, imposible de predecir, y se hacia mas patente al aumentar la temperatura del agua, este fenómeno es explicare en función del movimiento incesante de las moléculas de agua que golpean los granos los granos de polen desde todas las direcciones. Siempre que el numero de choques con las moléculas sea mas grande en un lado del grano de polen mas que el otro lado el efecto neto sera el movimiento del grano, alejándose de la zona donde recibe mas choques. Es claro que los átomos y las moléculas deben ejercer fuerzas atractivas unos sobre otros,  Este fue visto como un experimento, donde se dio pauta a los mojes a estudiar lo que hoy se conocer "El Movimiento Browniano".

                                                    Granos de polen, suspendidos en agua.

Ademas las partículas de humo suspendidas en el aire muestran también el movimiento Browniano , indicando que las moléculas gaseosas están también en movimiento al azar incesante .

                                         Partículas de humo en el aire en movimiento sin
                                          una dirección fija.
                                         

Referencias:

  Lavenda Howard Bernard (1985, pp. 36), Investigación y Ciencia, Scientific America, España.

  

  Uribe (2014) Teoría Cinética de los gases, UNAM, Mexico.

  Alamo Fernando (2009), Movimiento Browniano, Historia de la Ciencia, Barcelona,

La deducción matemática de la presión y temperatura con relación a la teoría cinética.

El análisis de la materia en términos de átomos en continuo movimiento aleatorio se llama Teoría cinética.

A continuación demostraremos con términos matemáticos la relación entre presión y temperatura con respecto a la Teoría Cinética.



LEY DE BOYLER

Imagen 1-1

La presión ejercida sobre la pared de un contenedor de gas se debe al bombardeo constante de las moléculas. Si, el volumen se reduce, por ejemplo, a la mitad, las moléculas estarán más cerca unas de otras y más del doble golpeara un área dada de la pared por segundo. En consecuencia se espera que la presión sea el doble, en concordancia con la ley de Boyler.

Ahora se calculara cuantitativa mente la presión que un gas ejerce sobre su contenedor con base en la teoría cinética.


Imagine que las moléculas están dentro de un contenedor rectangular (en reposo) cuyos lados tienen área A y cuya longitud es L (1-1)





La presión ejercida por el gas sobre las paredes de su contenedor, de acuerdo al modelo, se debe a las colisiones de las moléculas con las paredes.


Ahora enfoque la atención en la pared, de área A en el lado izquierdo del contenedor y examine lo que ocurre cuan do una molécula golpea esta pared, (1-2)

Imagen 1-2

Esta molécula ejerce una fuerza sobre la pared y, de acuerdo con la tercera Ley de Newton, la pared ejerce una fuerza igual y opuesta devuelta sobre la molécula. La magnitud de esta fuerza sobre la molécula, deacuedo con la segunda ley de Newton, es igual a la tasa de cambio de la cantidad de movimiento de la molécula F=▲ (mv)/. (1-2)



Si se supone que la colisión es inelástica, solo cambia el componente X de la cantidad por movimiento de la molécula, y cambia de   (se mueve en la dirección X negativa) a .

 Por tanto, el cambio en la cantidad del movimiento de la molécula, ▲ (mv), que es la cantidad de movimiento final menos la cantidad de movimiento inicial, es:

Para colisión. Esta molécula realizara muchas colisiones con la pared, cada una separa por un tiempo , que es el tiempo que toma a la molécula viajar a través del contenedor y regresar de nuevo, una distancia (componente X)= a 2L. En consecuencia    o


                                         

El tiempo  entre colisiones es muy pequeño, de modo que el número de colisiones por un segundo es muy grande. De esta forma, la fuerza promedio (promedia sobre muchas colisiones)será igual el cambio de cantidad de movimiento durante una colisión dividida por el tiempo entre colisiones(segunda ley de newton):

Durante este pasaje de ida y vuelta a través del contenedor, la molécula puede colisionar con las tapas y con los lados del contenedor , pero esto altera su componente X de cantidad de movimiento y, en consecuencia, no altera el resultado .También puede chocar con otras moléculas, lo que puede cambiar su vx. Sin embargo, cualquier pérdida (o ganancia) de cantidad de movimiento se adquiere mediante otras moléculas y, como eventualmente se sumara a todas las moléculas, este efecto será incluido. De modo que el resultado anterior no se altera.


La fuerza actual debida a una molécula es intermitente, pero, puesto que un gran número de moléculas golpean la pared por segundo, la fuerza es, en promedio casi constante. Para calcular la fuerza debida a todas las moléculas en el contenedor, se tienen que sumar las aportaciones de cada una. En consecuencia la fuerza neta sobre la pared es

Donde  significa  para la molécula 1 (a cada molécula se le asigna arbitrariamente un numero) y la suma se extiende en el número total de las molécula en el con tenedor.


El vapor promedio del cuadrado del componente X de la velocidad es

Por tanto, la fuerza se puede escribir como

   Se sabe que el cuadrado de cualquier vector es igual a la suma de los cuadrados de sus componentes

(teorema de Pitágoras). En consecuencia,   para cualquier velocidad        

 

Al tomar los promedios se obtienen

                                                   

Como las velocidades de las moléculas en el gas se suponen aleatorias, no existe preferencia por una dirección u otra. Por tanto:

                                                             

Al combinar esta relación con la anterior, se obtiene:

Esto se sustituye en la ecuación para la fuerza neta F:

La presión sobre la pared es, entonces,

       


                     ó                        






Donde V = LA es el volumen del contenedor. Este es el resultado que se buscaba, la presión ejercida por un gas sobre su contenedor expresada en términos de propiedades moleculares.





La ecuación ,

se pude volver a escribir en una forma más clara multiplicando ambos lados por v y re ordenando el lado derecho:

La cantidad  

 es la energía cinética promedio (KE) de las moléculas en el gas. Si se compara la ecuación

   
  con la   ley del gas ideal PV=NkT, se ve que las dos concuerdan si



                               


                                  ó


 Esta ecuación dice que:

La energía cinética de traslación promedio de las moléculas en movimiento aleatorio en un gas ideal es directamente proporcional a la temperatura absoluta del gas.


Cuando más elevada sea la temperatura, de acuerdo con la teoría cinética, más rápido se mueven las moléculas en promedio. Esta relación es uno de los triunfos de la teoría cinética.

Douglas C. Giancoli.(2006).FÍSICA: Principios con aplicaciones

( 6ta edición).México. PEARSON EDUCACION. 

Pag.367-370